Что показывает уравнение линейной регрессии. Найдем параметры уравнения линейной регрессии и дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии

Задача.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Y, млн. руб.).

Таблица 1.

Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений.

X
Y

Требуется :

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии , дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации . Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии и построить их графики:

Гиперболической;

Степенной;

Показательной.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Найдем параметры уравнения линейной регрессии и дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: ,

Вычисления для нахождения параметров a и b приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Расчет значений для нахождения параметров уравнения линейной регрессии.

Уравнение регрессии имеет вид: y = 13,8951 + 2,4016*x.

С увеличением объема капиталовложений (X) на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции (Y) увеличится в среднем на 2,4016 млн. руб. Таким образом, наблюдается положительная корреляция признаков, что свидетельствует об эффективности работы предприятий и выгодности капиталовложений в их деятельность.

2. Вычислим остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков и построим график остатков.

Остатки вычисляются по формуле: e i = y i - y прогн.

Остаточная сумма квадратов отклонений: = 207,74.

Дисперсия остатков: 25.97.

Расчеты приведены в таблице 3.

Таблица 3.

№	Y	X	Y=a+b*x i	e i = y i - y прогн.	e i 2
			100,35	3,65	13,306
			81,14	-4,14	17,131
			117,16	-0,16	0,0269
			138,78	-1,78	3,1649
			136,38	6,62	43,859
			143,58	0,42	0,1744
			73,93	8,07	65,061
			102,75	-1,75	3,0765
			136,38	-4,38	19,161
			83,54	-6,54	42,78
Сумма				0,00	207,74
Среднее	111,4	40,6

График остатков имеет вид:

Рис.1. График остатков

3. Проверим выполнение предпосылок МНК, который включает элементы:

- проверка равенства математического ожидания случайной составляющей нулю;

- случайный характер остатков;

- проверка независимости;

- соответствие ряда остатков нормальному закону распределения.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю.

Осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H 0: . С этой целью строится t-статистика , где .

, таким образом, гипотеза принимается.

Случайный характер остатков.

Проверим случайность уровней ряда остатков с помощью критерия поворотных точек:

Количество поворотных точек определяем по таблице остатков:

№	e i = y i - y прогн.	Точки поворота	e i 2	(e i - e i -1) 2
	3,65		13,31
	-4,14	*	17,13	60,63
	-0,16	*	0,03	15,80
	-1,78	*	3,16	2,61
	6,62	*	43,86	70,59
	0,42	*	0,17	38,50
	8,07	*	65,06	58,50
	-1,75	*	3,08	96,43
	-4,38		19,16	6,88
	-6,54		42,78	4,68
Сумма	0,00		207,74	354,62
Среднее

= 6 > , следовательно, свойство случайности остатков выполняется.

Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина - Уотсона :

=4 - 1,707 = 2,293.

Так как попало в интервал от d 2 до 2, то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости. Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяется с помощью R/S-критерия с критическими уровнями (2,7-3,7);

Рассчитаем значение RS:

RS = (e max - e min)/ S,

где e max - максимальное значение уровней ряда остатков E(t) = 8,07;

e min - минимальное значение уровней ряда остатков E(t) = -6,54.

S - среднеквадратическое отклонение, = 4,8044.

RS = (e max - e min)/ S= (8,07 + 6,54)/4,8044 = 3,04.

Так как 2,7 < 3,04 < 3,7, и полученное значение RS попало в за-данный интервал, значит, выполняется свойство нормальности распределения.

Таким образом, рассмотрев различные критерии выполнения предпосылок МНК, приходим к выводу, что предпосылки МНК выполняются.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента α = 0,05.

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t-статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

Затем расчетные значения сравниваются с табличными t табл = 2,3060. Табличное значение критерия определяется при (n- 2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости a (0,05)

Если расчетное значение t-критерия с (n- 2) степенями сво-боды превосходит его табличное значение при заданном уровне зна-чимости, коэффициент регрессии считается значимым.

В нашем случае коэффициенты регрессии a 0 - незначимый, а 1 - значимый коэффициенты.

Тема: Элементы теории корреляции

Объекты ряда генеральных совокупностей обладают несколькими подлежащими изучению признаками Х, У, ..., которые можно интерпретировать как систему взаимосвязанных величин. Примерами могут служить: масса животного и количество гемоглабина в крови, рост мужчины и объем грудной клетки, увеличение рабочих мест в помещении и уровень заболеваемости вирусными инфекциями, количество вводимого препарата и концентрация его в крови и т.д.

Очевидно, что между этими величинами существует связь, но она не может быть строгой фукциональной зависимостью, так как на изменение одной из величин влияет не только изменение второй величины, но и другие факторы. В таких случаях говорят, что две величины связаны стохастической (т.е. случайной) зависимостью. Мы будем изучать частный случай стохастической зависимости – корреляционную зависимость .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: стохастической , если на изменение одной из них влияет не только изменение второй величины, но и другие факторы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Зависимость случайных величин называют статистической, если изменения одной из них приводит к изменению закона распределения другой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной.

Примерами корреляционной зависимости являются связи между:

Массой тела и ростом;

дозой ионизирующего излучения и числом мутаций;

пигментом волос человека и цветом глаз;

показателями уровня жизни населения и процентом смертности;

количеством пропущенных студентами лекций и оценкой на экзамене и т.д.

Именно корреляционные зависимости наиболее часто встречаются в природе в силу взаимовлияния и тесного переплетения огромного множества самых различных факторов, определяющих значения изучаемых показателей.

Результаты наблюдения, проведенные над тем или иным биологическим объктом по корреляционно связанным признакам У и Х можно изобразить точками на плоскости, построив систему прямоугольных координат. В результате получается некая диаграмма рассеяния, позволяющая судить о форме и тесноте связи между варьирующими признаками.

Если эту связь можно будет апроксимировать некоторой кривой, то можно будет прогнозировать изменение одного из параметров при целенаправленном изменении другого параметра.

Корреляционную зависимость от
можно описать с помощью уравнения вида

(1)

г
де
условное среднее величины , соответствующее значениювеличины
, а
некоторая функция. Уравнение (1) называется на
.

Рис.1. Линейная регрессия значима. Модель
.

Функцию
называютвыборочной регрессией на
, а ее график –выборочной линией регрессии на
.

Совершенно аналогично выборочным уравнением регрессии
на является уравнение
.

В зависимости от вида уравнения регрессии и формы соответствующей линии регрессии определяют форму корреляционной зависимости между рассматриваемыми величинами – линейной, квадратической, показательной, экспоненциальной.

Важнейшим является вопрос выбора вида функции регрессии
[или
], например линейная или нелинейная (показательная, логарифмическая и т.д.)

На практике вид функции регрессии можно определить построив на координатной плоскости множество точек, соответствующих всем имеющимся парам наблюдений (
).

Рис. 2. Линейная регрессия незначима. Модель
.

Р
ис. 3. Нелинейная модель
.

Например, на рис.1. видна тенденция роста значений с ростом
, при этом средние значениярасполагается визуально на прямой. Имеет смысл использовать линейную модель (вид зависимостиот
принято называть моделью) зависимостиот
.

На рис.2. средние значения не зависят от, следовательно линейная регрессия незначима (функция регрессии постоянна и равна).

На рис. 3. прослеживается тенденция нелинейности модели.

Примеры прямолинейной зависимости:

увеличение количество потребляемого йода и снижение показателя заболеваемости зобом,

увеличение стажа рабочего и повышение производительности.

Примеры криволинейной зависимости:

с увеличением осадков – увеличивается урожай, но это происходит до определенного предела осадков. После критической точки осадки уже оказываются излишними, почва заболачивается и урожай снижается,

связь между дозой хлора, примененной для обеззараживания воды и количеством бактерий в 1 мл. воды. С увеличением дозы хлора количество бактерий в воде снижается, но по достижению критической точки количество бактерий будет оставаться постоянным (или совсем отсутствовать), как бы мы не увеличивали дозу хлора.

Линейная регрессия

Выбрав вид функции регрессии, т.е. вид рассматриваемой модели зависимости от Х (или Х от У), например, линейную модель
, необходимо определить конкретные значения коэффициентов модели.

При различных значениях а и
можно построить бесконечное число зависимостей вида
т.е на координатной плоскости имеется бесконечное количество прямых, нам же необходима такая зависимость, которая соответствует наблюдаемым значениям наилучшим образом. Таким образом, задача сводится к подбору наилучших коэффициентов.

Метод наименьших квадратов (мнк)

Линейную функцию
ищем, исходя лишь из некоторого количества имеющихся наблюдений. Для нахождения функции с наилучшим соответствием наблюдаемым значениям используемметод наименьших квадратов.

Рис.4. Пояснение к оценке коэффициентов методом наименьших квадратов

Обозначим: - значение, вычисленное по уравнению

- измеренное значение,

- разность между измеренными и вычисленными по уравнению значениям,

В методе наименьших квадратов требуется, чтобы , разность между измеренными и вычисленными по уравнению значениям , была минимальной. Следовательно, находимо подобрать коэффициентыа и так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от значений на прямой линии регрессии оказалась наименьшей:

Это условие достигается если параметры а и будут вычислены по формулам:

называют коэффициентом регрессии ; называютсвободным членом уравнения регрессии.

Полученная прямая является оценкой для теоретической линии регрессии. Имеем

Итак,
являетсяуравнением линейной регрессии.

Регрессия может быть прямой
и обратной
.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Обратная регрессия означает, что при росте одного параметра, значения другого параметра уменьшаются.

Иногда так бывает: задачу можно решить чуть ли не арифметически, а на ум прежде всего приходят всякие интегралы Лебега и функции Бесселя. Вот начинаешь обучать нейронную сеть, потом добавляешь еще парочку скрытых слоев, экспериментируешь с количеством нейронов, функциями активации, потом вспоминаешь о SVM и Random Forest и начинаешь все сначала. И все же, несмотря на прямо таки изобилие занимательных статистических методов обучения, линейная регрессия остается одним из популярных инструментов. И для этого есть свои предпосылки, не последнее месте среди которых занимает интуитивность в интерпретации модели.

Немного формул

В простейшем случае линейную модель можно представить так:

Y i = a 0 + a 1 x i + ε i

Где a 0 - математическое ожидание зависимой переменной y i , когда переменная x i равна нулю; a 1 - ожидаемое изменение зависимой переменной y i при изменении x i на единицу (этот коэффициент подбирают таким образом, чтобы величина ½Σ(y i -ŷ i) 2 была минимальна - это так называемая «функция невязки»); ε i - случайная ошибка.
При этом коэффициенты a 1 и a 0 можно выразить через матан коэффициент корреляции Пирсона , стандартные отклонения и средние значения переменных x и y:

Â 1 = cor(y, x)σ y /σ x

Â 0 = ȳ - â 1 x̄

Диагностика и ошибки модели

Чтобы модель была корректной, необходимо выполнение условий Гаусса-Маркова , т.е. ошибки должны быть гомоскедастичны с нулевым математическим ожиданием. График остатков e i = y i - ŷ i помогает определить, насколько адекватна построенная модель (e i можно считать оценкой ε i).
Посмотрим на график остатков в случае простой линейной зависимости y 1 ~ x (здесь и далее все примеры приводятся на языке R ):

Скрытый текст

set.seed(1) n <- 100 x <- runif(n) y1 <- x + rnorm(n, sd=.1) fit1 <- lm(y1 ~ x) par(mfrow=c(1, 2)) plot(x, y1, pch=21, col="black", bg="lightblue", cex=.9) abline(fit1) plot(x, resid(fit1), pch=21, col="black", bg="lightblue", cex=.9) abline(h=0)

Остатки более-менее равномерно распределены относительно горизонтальной оси, что говорит об «отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях». А теперь исследуем такой же график, но построенный для линейной модели, которая на самом деле не является линейной:

Скрытый текст

y2 <- log(x) + rnorm(n, sd=.1) fit2 <- lm(y2 ~ x) plot(x, y2, pch=21, col="black", bg="lightblue", cex=.9) abline(fit2) plot(x, resid(fit2), pch=21, col="black", bg="lightblue", cex=.9) abline(h=0)

По графику y 2 ~ x вроде бы можно предположить линейную зависимость, но у остатков есть паттерн, а значит, чистая линейная регрессия тут не пройдет . А вот что на самом деле означает гетероскедастичность :

Скрытый текст

y3 <- x + rnorm(n, sd=.001*x) fit3 <- lm(y3 ~ x) plot(x, y3, pch=21, col="black", bg="lightblue", cex=.9) abline(fit3) plot(x, resid(fit3), pch=21, col="black", bg="lightblue", cex=.9) abline(h=0)

Линейная модель с такими «раздувающимися» остатками не корректна. Еще иногда бывает полезно построить график квантилей остатков против квантилей, которые можно было бы ожидать при условии, что остатки нормально распределены:

Скрытый текст

qqnorm(resid(fit1)) qqline(resid(fit1)) qqnorm(resid(fit2)) qqline(resid(fit2))

На втором графике четко видно, что предположение о нормальности остатков можно отвергнуть (что опять таки говорит о некорректности модели). А еще бывают такие ситуации:

Скрытый текст

x4 <- c(9, x) y4 <- c(3, x + rnorm(n, sd=.1)) fit4 <- lm(y4 ~ x4) par(mfrow=c(1, 1)) plot(x4, y4, pch=21, col="black", bg="lightblue", cex=.9) abline(fit4)

Это так называемый «выброс» , который может сильно исказить результаты и привести к ошибочным выводам. В R есть средства для его обнаружения - с помощью стандартизованой меры dfbetas и hat values :
> round(dfbetas(fit4), 3) (Intercept) x4 1 15.987 -26.342 2 -0.131 0.062 3 -0.049 0.017 4 0.083 0.000 5 0.023 0.037 6 -0.245 0.131 7 0.055 0.084 8 0.027 0.055 .....
> round(hatvalues(fit4), 3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 0.810 0.012 0.011 0.010 0.013 0.014 0.013 0.014 0.010 0.010...
Как видно, первый член вектора x4 оказывает заметно большее влияние на параметры регрессионной модели, нежели остальные, являясь, таким образом, выбросом.

Выбор модели при множественной регрессии

Естественно, что при множественной регрессии возникает вопрос: стоит ли учитывать все переменные? С одной стороны, казалось бы, что стоит, т.к. любая переменная потенциально несет полезную информацию. Кроме того, увеличивая количество переменных, мы увеличиваем и R 2 (кстати, именно по этой причине эту меру нельзя считать надежной при оценке качества модели). С другой стороны, стоить помнить о таких вещах, как AIC и BIC , которые вводят штрафы за сложность модели. Абсолютное значение информационного критерия само по себе не имеет смысла, поэтому надо сравнивать эти значения у нескольких моделей: в нашем случае - с разным количеством переменных. Модель с минимальным значением информационного критерия будет наилучшей (хотя тут есть о чем поспорить).
Рассмотрим датасет UScrime из библиотеки MASS:
library(MASS) data(UScrime) stepAIC(lm(y~., data=UScrime))
Модель с наименьшим значением AIC имеет следующие параметры:
Call: lm(formula = y ~ M + Ed + Po1 + M.F + U1 + U2 + Ineq + Prob, data = UScrime) Coefficients: (Intercept) M Ed Po1 M.F U1 U2 Ineq Prob -6426.101 9.332 18.012 10.265 2.234 -6.087 18.735 6.133 -3796.032
Таким образом, оптимальная модель с учетом AIC будет такой:
fit_aic <- lm(y ~ M + Ed + Po1 + M.F + U1 + U2 + Ineq + Prob, data=UScrime) summary(fit_aic)
... Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -6426.101 1194.611 -5.379 4.04e-06 *** M 9.332 3.350 2.786 0.00828 ** Ed 18.012 5.275 3.414 0.00153 ** Po1 10.265 1.552 6.613 8.26e-08 *** M.F 2.234 1.360 1.642 0.10874 U1 -6.087 3.339 -1.823 0.07622 . U2 18.735 7.248 2.585 0.01371 * Ineq 6.133 1.396 4.394 8.63e-05 *** Prob -3796.032 1490.646 -2.547 0.01505 * Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Если внимательно присмотреться, то окажется, что у переменных M.F и U1 довольно высокое значение p-value, что как бы намекает нам, что эти переменные не так уж и важны. Но p-value - довольно неоднозначная мера при оценки важности той или иной переменной для статистической модели. Наглядно этот факт демонстрирует пример:
data <- read.table("http://www4.stat.ncsu.edu/~stefanski/NSF_Supported/Hidden_Images/orly_owl_files/orly_owl_Lin_9p_5_flat.txt") fit <- lm(V1~. -1, data=data) summary(fit)$coef
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) V2 1.1912939 0.1401286 8.501431 3.325404e-17 V3 0.9354776 0.1271192 7.359057 2.568432e-13 V4 0.9311644 0.1240912 7.503873 8.816818e-14 V5 1.1644978 0.1385375 8.405652 7.370156e-17 V6 1.0613459 0.1317248 8.057300 1.242584e-15 V7 1.0092041 0.1287784 7.836752 7.021785e-15 V8 0.9307010 0.1219609 7.631143 3.391212e-14 V9 0.8624487 0.1198499 7.196073 8.362082e-13 V10 0.9763194 0.0879140 11.105393 6.027585e-28
p-values у каждой переменной - практически нуль, и можно предположить, что все переменные важны для этой линейной модели. Но на самом деле, если присмотреться к остаткам, выходит как-то так:

Скрытый текст

plot(predict(fit), resid(fit), pch=".")

И все же, альтернативный подход основывается на дисперсионном анализе , в котором значения p-value играют ключевую роль. Сравним модель без переменной M.F с моделью, построенной с учетом только AIС:
fit_aic0 <- update(fit_aic, ~ . - M.F) anova(fit_aic0, fit_aic)
Analysis of Variance Table Model 1: y ~ M + Ed + Po1 + U1 + U2 + Ineq + Prob Model 2: y ~ M + Ed + Po1 + M.F + U1 + U2 + Ineq + Prob Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) 1 39 1556227 2 38 1453068 1 103159 2.6978 0.1087
Учитывая P-значение, равное 0.1087, при уровне значимости α=0.05 мы можем сделать вывод, что нет статистически значимого свидетельства в пользу альтернативной гипотезы, т.е. в пользу модели с дополнительной переменной M.F. Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме можно найти:

параметры уравнения линейной регрессии y=a+bx , линейный коэффициент корреляции с проверкой его значимости;
тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации, МНК-оценку, статическую надежность регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера и с помощью t-критерия Стьюдента , доверительный интервал прогноза для уровня значимости α

Уравнение парной регрессии относится к уравнению регрессии первого порядка . Если эконометрическая модель содержит только одну объясняющую переменную, то она имеет название парной регрессии. Уравнение регрессии второго порядка и уравнение регрессии третьего порядка относятся к нелинейным уравнениям регрессии .

Пример . Осуществите выбор зависимой (объясняемой) и объясняющей переменной для построения парной регрессионной модели. Дайте . Определите теоретическое уравнение парной регрессии. Оцените адекватность построенной модели (интерпретируйте R-квадрат, показатели t-статистики, F-статистики).
Решение будем проводить на основе процесса эконометрического моделирования .
1-й этап (постановочный) – определение конечных целей моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли.
Спецификация модели - определение цели исследования и выбор экономических переменных модели.
Ситуационная (практическая) задача. По 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x (в %).
2-й этап (априорный) – предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации и исходных допущений, в частности относящейся к природе и генезису исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих в виде ряда гипотез.
Уже на этом этапе можно говорить о явной зависимости уровня квалификации рабочего и его выработкой, ведь чем опытней работник, тем выше его производительность. Но как эту зависимость оценить?
Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x , т. е. модель вида:

Где y – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая, или объясняющая, переменная (признак-фактор). Знак «^» означает, что между переменными x и y нет строгой функциональной зависимости, поэтому практически в каждом отдельном случае величина y складывается из двух слагаемых:

Где y – фактическое значение результативного признака; y x – теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии; ε – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.
Графически покажем регрессионную зависимость между выработкой продукции на одного работника и удельного веса рабочих высокой квалификации.

3-й этап (параметризация) – собственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в неё связей между переменными. Выбор вида функциональной зависимости в уравнении регрессии называется параметризацией модели. Выбираем уравнение парной регрессии , т.е. на конечный результат y будет влиять только один фактор.
4-й этап (информационный) – сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих в модели факторов и показателей. Выборка состоит из 10 предприятий отрасли.
5-й этап (идентификация модели) – оценивание неизвестных параметров модели по имеющимся статистическим данным.
Чтобы определить параметры модели, используем МНК - метод наименьших квадратов . Система нормальных уравнений будет выглядеть следующим образом:
a n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x 2 = ∑y x
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1).

x	y	x 2	y 2	x y
10	6	100	36	60
12	6	144	36	72
15	7	225	49	105
17	7	289	49	119
18	7	324	49	126
19	8	361	64	152
19	8	361	64	152
20	9	400	81	180
20	9	400	81	180
21	10	441	100	210
171	77	3045	609	1356

Данные берем из таблицы 1 (последняя строка), в итоге имеем:
10a + 171 b = 77
171 a + 3045 b = 1356
Эту СЛАУ решаем методом Крамера или методом обратной матрицы .
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.3251, a = 2.1414
Эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:
y = 0.3251 x + 2.1414
6-й этап (верификация модели) – сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.
Анализ проводим с помощью

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

Тула - 2010 г.

Задача 2 (а, б)

По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.

Х	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
Y	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков

; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

1. Линейная модель имеет вид:

Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам

Расчет значения параметров представлен в табл. 2.

t	y	x	yx
1	43	33	1419	1089	42,236	0,764	0,584	90,25	88,36	0,018
2	27	17	459	289	27,692	-0,692	0,479	42,25	43,56	0,026
3	32	23	736	529	33,146	-1,146	1,313	0,25	2,56	0,036
4	29	17	493	289	27,692	1,308	1,711	42,25	21,16	0,045
5	45	36	1620	1296	44,963	0,037	0,001	156,25	129,96	0,001
6	35	25	875	625	34,964	0,036	0,001	2,25	1,96	0,001
7	47	39	1833	1521	47,69	-0,69	0,476	240,25	179,56	0,015
8	32	20	640	400	30,419	1,581	2,500	12,25	2,56	0,049
9	22	13	286	169	24,056	-2,056	4,227	110,25	134,56	0,093
10	24	12	288	144	23,147	0,853	0,728	132,25	92,16	0,036
∑	336	235	8649	6351	12,020	828,5	696,4	0,32
Средн.	33,6	23,5	864,9	635,1