Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.
Линейное уравнение
Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.
Виды систем линейных уравнений
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.
Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.
Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Простые и сложные методы решения систем уравнений
Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.
Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода
Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.
Решение систем методом подстановки
Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе
Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:
Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.
Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.
Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:
Решение с помощью алгебраического сложения
При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.
Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.
Алгоритм действий решения:
- Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
- Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
- Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.
Способ решения введением новой переменной
Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.
Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.
Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.
Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.
Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.
Наглядный метод решения систем
Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.
Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.
Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.
Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.
В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.
Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.
Матрица и ее разновидности
Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.
Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.
Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.
Правила преобразования системы уравнений в матрицу
Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.
Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.
Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.
При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.
Варианты нахождения обратной матрицы
Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.
Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.
Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом
Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.
В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.
Решение систем методом Гаусса
В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.
Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.
После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.
В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:
Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .
Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.
Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.
Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:
Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.
Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.
В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.
Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.
Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.
ОГБОУ «Центр образования для детей с особыми образовательными потребностями г. Смоленска»
Центр дистанционного образования
Урок алгебры в 7 классе
Тема урока: Метод алгебраического сложения.
- Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний.
Цель урока: контроль уровня усвоения знаний и умений решения систем уравнений способом подстановки; формирование умений и навыков решения систем уравнений способом сложения.
Задачи урока:
Предметные: научиться выполнять решения систем уравнений с двумя переменными методом сложения.
Метапредметные: Познавательные УУД : анализировать (выделять главное), определять понятия, обобщать, делать выводы. Регулятивные УУД : определять цель, проблему в учебной деятельности. Коммуникативные УУД : излагать своё мнение, аргументируя его. Личностные УУД: ф ормировать положительную мотивацию к обучению, создавать позитивное эмоциональное отношение обучающегося к уроку и предмету.
Форма работы: индивидуальная
Этапы урока:
1) Организационный этап.
организовать работу обучающейся по теме через создание установки на целостность мышления и понимание данной темы.
2. Опрос обучающейся по заданному на дом материалу, актуализация знаний.
Цель: проверить знания обучающейся, полученные в ходе выполнения домашней работы, выявить ошибки, сделать работу над ошибками. Повторить материал прошлого урока.
3. Изучение нового материала.
1). формировать умение решать системы линейных уравнений способом сложения;
2). развивать и совершенствовать имеющиеся знания в новых ситуациях;
3). воспитывать навыки контроля и самоконтроля, развивать самостоятельность.
http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
Цель: сохранение зрения, снятие усталости с глазво время работы на уроке.
5. Закрепление изученного материала
Цель: проверить знания, умения и навыки, полученные на уроке
6. Итог урока, информация о домашнем задании, рефлексия.
Ход урока (работа в электронном документе Google):
1. Сегодня урок я хотела начать с философской загадки Вальтера.
Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и короткое, самое дорогое, но и дешево ценимое нами?
Время
Вспомним основные понятия по теме:
Перед нами система двух уравнений.
Вспомним, как мы решали системы уравнений на прошлом уроке.
Методом подстановки
Еще раз обрати внимание на решенную систему и скажи, почему мы не можем решить каждое уравнение системы не прибегая к методу подстановки?
Потому что это - уравнения системы с двумя переменными. Мы умеем решать уравнение только с одной переменной.
Только получив уравнение с одной переменной нам удалось решить систему уравнений.
3. Мы приступаем к решению следующей системы:
Выберем уравнение, в котором удобно одну переменную выразить через другую.
Такого уравнения нет.
Т.е. в данной ситуации нам не подходит изученный ранее метод. Какой выход из данной ситуации?
Найти новый метод.
Попытаемся сформулировать цель урока.
Научиться решать системы новым методом.
Что нам необходимо сделать, чтобы научиться решать системы новым методом?
знать правила (алгоритм) решения системы уравнения, выполнить практические задания
Приступим к выведению нового метода.
Обрати внимание на вывод, который мы сделали после решения первой системы. Решить систему удалось только после того, как мы получили линейное уравнение с одной переменной.
Посмотри на систему уравнений и подумай, как из двух данных уравнений получить одно уравнение с одной переменной.
Сложить уравнения.
Что значит сложить уравнения?
По отдельности составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять.
Попробуем. Работаем вместе со мной.
13x+14x+17y-17y=43+11
Получили линейное уравнение с одной переменной.
Решили систему уравнений?
Решение системы - пара чисел.
Как найти у?
Найденное значение х подставить в уравнение системы.
Имеет значение, в какое уравнение подставим значение х?
Значит найденное значение х можно подставить в...
любое уравнение системы.
Мы познакомились с новым методом - методом алгебраического сложения.
Решая систему, мы проговорили алгоритм решения системы данным методом.
Алгоритм мы рассмотрели. Теперь применим его к решению задач.
Умение решать системы уравнений может пригодится в практике.
Рассмотрим задачу:
В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?
Зная, что всего кур и овец 19, составим первое уравнение: х + у =19
4х - число ног у овец
2у - число ног у кур
Зная, что всего 46 ног, составим второе уравнение: 4х + 2у =46
Составим систему уравнений:
Решим систему уравнений, применяя алгоритм решения методом сложения.
Проблема! Коэффициенты перед х и у - не равные и не противоположные! Что же делать?
Рассмотрим ещё один пример!
Добавим в наш алгоритм ещё один шаг и поставим его на первое место: Если коэффициенты перед переменными- не одинаковые и не противоположные, то надо уравнять модули при какой-нибудь переменной! А далее уже будем действовать по алгоритму.
4. Электронная физкультминутка для глаз: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
5. Дорешаем задачу методом алгебраического сложения, закрепив новый материал и узнаем, сколько же кур и овец было в хозяйстве.
Дополнительные задания:
6. 
Рефлексия.
Я за свою работу на уроке ставлю оценку - …
6. Использованные ресурсы-интернет:
сервисы Google для образования
Учитель математики Соколова Н. Н.
На этом уроке мы продолжим изучение метод решения систем уравнений, а именно: метода алгебраического сложения. Вначале рассмотрим применение этого метода на примере линейных уравнений и его суть. Также вспомним, как уравнивать коэффициенты в уравнениях. И решим ряд задач на применение этого метода.
Тема: Системы уравнений
Урок: Метод алгебраического сложения
1. Метод алгебраического сложения на примере линейных систем
Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере линейных систем.
Пример 1. Решить систему
Если мы сложим эти два уравнения, то y взаимно уничтожатся, и останется уравнение относительно x.
Если же вычтем из первого уравнения второе, взаимно уничтожатся x, и мы получим уравнение относительно y. В этом и заключается смысл метода алгебраического сложения.
Мы решили систему и вспомнили метод алгебраического сложения. Повторим его суть: мы можем складывать и вычитать уравнения, но при этом необходимо обеспечить, чтобы получилось уравнение только с одним неизвестным.
2. Метод алгебраического сложения с предварительным уравниванием коэффициентов
Пример 2. Решить систему
Член присутствует в обоих уравнениях, поэтому удобен метод алгебраического сложения. Вычтем из первого уравнения второе.
Ответ: (2; -1).
Таким образом, проанализировав систему уравнений, можно увидеть, что она удобна для метода алгебраического сложения, и применить его.
Рассмотрим еще одну линейную систему.
3. Решение нелинейных систем
Пример 3. Решить систему
Мы хотим избавиться от y, но в двух уравнениях коэффициенты при y разные. Уравняем их, для этого умножим первое уравнение на 3, второе - на 4.
Пример 4. Решить систему 
Уравняем коэффициенты при x
Можно сделать иначе - уравнять коэффициенты при y.
Мы решили систему, дважды применив метод алгебраического сложения.
Метод алгебраического сложения применим и при решении нелинейных систем.
Пример 5. Решить систему
Сложим эти уравнения, и мы избавимся от y.
Эту же систему можно решить, дважды применив метод алгебраического сложения. Сложим и вычтем из одного уравнения другое.
Пример 6. Решить систему 
Ответ:
Пример 7. Решить систему 
Методом алгебраического сложения избавимся от члена xy. Умножим первое уравнение на .
Первое уравнение остается без изменений, вместо второго записываем алгебраическую сумму.
Ответ:
Пример 8. Решить систему
Умножим второе уравнение на 2, чтобы выделить полный квадрат.
Наша задача свелась к решению четырех простейших систем.
4. Заключение
Мы рассмотрели метод алгебраического сложения на примере решения линейных и нелинейных систем. На следующем уроке рассмотрим метод введения новых переменных.
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Раздел College. ru по математике.
2. Интернет-проект «Задачи» .
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 125 - 127.
Нужно скачать поурочный план по теме » Метод алгебраического сложения ?
Методом сложения, уравнения системы почленно складывают, при этом 1-но либо оба (несколько) уравнений можно умножить на любое число. В результате приходят к равнозначной СЛУ , где в одном из уравнений есть лишь одна переменная.
Для решения системы способом почленного сложения (вычитания) следуйте следующим шагам:
1. Выбираем переменную, у которой будут делаться одинаковые коэффициенты.
2. Теперь нужно сложить либо вычесть уравнения и получим уравнение с одной переменной.
Решение системы - это точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим на примерах.
Пример 1.
Дана система:
Проанализировав эту систему можно заметить, что коэффициенты при переменной равны по модулю и разные по знаку (-1 и 1). В таком случае уравнения легко сложить почленно:
Действия, которые обведены красным цветом, выполняем в уме.
Результатом почленного сложения стало исчезновение переменной y . Именно в этом и В этом, собственно, и заключается смысл метода - избавиться от 1-ой из переменных.
-4 - y + 5 = 0 → y = 1,
В виде системы решение выглядит где-то так:
Ответ: x = -4 , y = 1.
Пример 2.
Дана система:
В этом примере можете пользоваться «школьным» методом, но в нем есть немаленький минус - когда вы будете выражать любую переменную из любого уравнения, то получите решение в обыкновенных дробях . А решение дробей занимает достаточно времени и вероятность допущения ошибок увеличивается.
Поэтому лучше пользоваться почленным сложением (вычитанием) уравнений. Проанализируем коэффициенты у соответствующих переменных:
Нужно подобрать число, которое можно поделить и на 3 и на 4 , при этом нужно, что бы это число было минимально возможным. Это наименьшее общее кратное . Если вам тяжело подобрать подходящее число, то можете перемножить коэффициенты: .
Следующий шаг:
1-е уравнение умножаем на ,
3-е уравнение умножаем на ,
