Разность арифметической прогрессии равна 7 какой формулой. Арифметическая прогрессия: что это такое

Начальный уровень

Арифметическая прогрессия. Подробная теория с примерами (2019)

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность
Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.
Число с номером называется -ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

В нашем случае:

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна.
Например:

и т.д.
Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.
Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

a)
b)
c)
d)

Разобрался? Сравним наши ответы:
Является арифметической прогрессией - b, c.
Не является арифметической прогрессией - a, d.

Вернемся к заданной прогрессии () и попробуем найти значение ее -го члена. Существует два способа его нахождения.

1. Способ

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии, пока не дойдем до -го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного - всего три значения:

Итак, -ой член описанной арифметической прогрессии равен.

2. Способ

А что если нам нужно было бы найти значение -го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.
Разумеется, математики придумали способ, при котором не нужно прибавлять разность арифметической прогрессии к предыдущему значению. Присмотрись внимательно к нарисованному рисунку… Наверняка ты уже заметил некую закономерность, а именно:

Например, посмотрим, из чего складывается значение -го члена данной арифметической прогрессии:

Иными словами:

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу - приведем ее в общий вид и получим:

Уравнение арифметической прогрессии.

Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.

Возрастающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:

Убывающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.
Проверим это на практике.
Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: Проверим, какое получится -ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

Так как, то:

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.
Попробуй самостоятельно найти -ой и -ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

Свойство арифметической прогрессии

Усложним задачу - выведем свойство арифметической прогрессии.
Допустим, нам дано такое условие:
- арифметическая прогрессия, найти значение.
Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

Пусть, а, тогда:

Абсолютно верно. Получается, мы сначала находим, потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое. Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа? Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.
А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы? Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как, формула его нахождения нам известна - это та самая формула, выведенная нами в начале:
, тогда:

предыдущий член прогрессии это:
последующий член прогрессии это:

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии - это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними. Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на.

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал. Посчитай значение для прогрессии самостоятельно, ведь это совсем несложно.

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» - Карл Гаусс...

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от до (по другим источникам до) включительно». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.
Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из -ти членов: Нам необходимо найти сумму данных членов арифметической прогрессии. Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии? Конечно, ровно половина всех чисел, то есть.
Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна, а подобных равных пар, мы получаем, что общая сумма равна:
.
Таким образом, формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

В некоторых задачах нам неизвестен -й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу -го члена.
Что у тебя получилось?

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма чисел, начиная от -го, и сумма чисел начиная от -го.

Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма членов равна, а сумма членов. Так ли ты решал?

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.
Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени - строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется блочных кирпичей. Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом: .
Разность арифметической прогрессии.
Количество членов арифметической прогрессии.
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

Способ 2.

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде. Сошлось? Молодец, ты освоил сумму -ных членов арифметической прогрессии.
Конечно, из блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из? Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.
Справился?
Верный ответ - блоков:

Тренировка

Задачи:

Маша приходит в форму к лету. Ежедневно она увеличивает количество приседаний на. Сколько раз будет приседать Маша через недели, если на первой тренировке она сделала приседаний.
Какова сумма всех нечетных чисел, содержащихся в.
Лесорубы при хранении бревен укладывают их таким образом, что каждый верхний слой содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. Сколько бревен находится в одной кладке, если основанием кладки служат бревен.

Ответы:

Определим параметры арифметической прогрессии. В данном случае
(недели = дней).
Ответ: Через две недели Маша должна приседать раз в день.
Первое нечетное число, последнее число.
Разность арифметической прогрессии.
Количество нечетных чисел в - половина, однако, проверим этот факт, используя формулу нахождения -ного члена арифметической прогрессии:
В числах действительно содержится нечетных чисел.
Имеющиеся данные подставим в формулу:
Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в, равна.
Вспомним задачу про пирамиды. Для нашего случая, a , так как каждый верхний слой уменьшается на одно бревно, то всего в кучке слоев, то есть.
Подставим данные в формулу:
Ответ: В кладке находится бревен.

Подведем итоги

- числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна. Она бывает возрастающей и убывающей.
Формула нахождения -го члена арифметической прогрессии записывается формулой - , где - количество чисел в прогрессии.
Свойство членов арифметической прогрессии - - где - количество чисел в прогрессии.
Сумму членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:

, где - количество значений.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.

Число с номером называется -ым членом последовательности.

Очень удобно, если -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

задает последовательность:

А формула - такую последовательность:

Например, арифметической прогрессией является последовательность (первый член здесь равен, а разность). Или (, разность).

Формула n-го члена

Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать -ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:

Чтобы найти по такой формуле, например, -ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть. Тогда:

Ну что, ясно теперь какая формула?

В каждой строке мы к прибавляем, умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус:

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

Реши сам:

В арифметической прогрессии найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение:

Первый член равен. А чему равна разность? А вот чему:

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Итак, формула:

Тогда сотый член равен:

Чему равна сумма всех натуральных чисел от до?

По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна, сумма второго и предпоследнего - тоже, сумма третьего и 3-го с конца - тоже, и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть. Итак,

Общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных.

Решение:

Первое такое число - это. Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа. Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.

Формула -го члена для этой прогрессии:

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Очень легко: .

Последний член прогрессии будет равен. Тогда сумма:

Ответ: .

Теперь реши сам:

Ежедневно спортсмен пробегает на м больше, чем в предыдущий день. Сколько всего километров он пробежит за недели, если в первый день он пробежал км м?
Велосипедист проезжает каждый день на км больше, чем в предыдущий. В первый день он проехал км. Сколько дней ему надо ехать, чтобы преодолеть км? Сколько километров он проедет за последний день пути?
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через шесть лет был продан за рублей.

Ответы:

Здесь самое главное - распознать арифметическую прогрессию, и определить ее параметры. В данном случае, (недели = дней). Определить нужно сумму первых членов этой прогрессии:
.
Ответ:
Здесь дано: , надо найти.
Очевидно, нужно использовать ту же формулу суммы, что и в предыдущей задаче:
.
Подставляем значения:
Корень, очевидно, не подходит, значит, ответ.
Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы -го члена:
(км).
Ответ:
Дано: . Найти: .
Проще не бывает:
(руб).
Ответ:

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей () и убывающей ().

Например:

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

записывается формулой, где - количество чисел в прогрессии.

Свойство членов арифметической прогрессии

Оно позволяет легко найти член прогрессии, если известны его соседние члены - где - количество чисел в прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии

Существует два способа нахождения суммы:

Где - количество значений.

Или арифметическая - это вид упорядоченной числовой последовательности, свойства которой изучают в школьном курсе алгебры. В данной статье подробно рассмотрен вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии.

Что это за прогрессия?

Прежде чем переходить к рассмотрению вопроса (как найти сумму арифметической прогрессии), стоит понять, о чем пойдет речь.

Любая последовательность действительных чисел, которая получается путем добавления (вычитания) некоторого значения из каждого предыдущего числа, называется алгебраической (арифметической) прогрессией. Это определение в переводе на язык математики принимает форму:

Здесь i - порядковый номер элемента ряда a i . Таким образом, зная всего одно начальное число, можно с легкостью восстановить весь ряд. Параметр d в формуле называется разностью прогрессии.

Можно легко показать, что для рассматриваемого ряда чисел выполняется следующее равенство:

a n = a 1 + d * (n - 1).

То есть для нахождения значения n-го по порядку элемента следует n-1 раз добавить разность d к первому элементу a 1 .

Чему равна сумма арифметической прогрессии: формула

Прежде чем приводить формулу для указанной суммы, стоит рассмотреть простой частный случай. Дана прогрессия натуральных чисел от 1 до 10, необходимо найти их сумму. Поскольку членов в прогрессии немного (10), то можно решить задачу в лоб, то есть просуммировать все элементы по порядку.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Стоит учесть одну интересную вещь: поскольку каждый член отличается от последующего на одно и то же значение d = 1, то попарное суммирование первого с десятым, второго с девятым и так далее даст одинаковый результат. Действительно:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Как видно, этих сумм всего 5, то есть ровно в два раза меньше, чем число элементов ряда. Тогда умножая число сумм (5) на результат каждой суммы (11), вы придете к полученному в первом примере результату.

Если обобщить эти рассуждения, то можно записать следующее выражение:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Это выражение показывает, что совсем не обязательно суммировать подряд все элементы, достаточно знать значение первого a 1 и последнего a n , а также общего числа слагаемых n.

Считается, что впервые до этого равенства додумался Гаусс, когда искал решение на заданную его школьным учителем задачу: просуммировать 100 первых целых чисел.

Сумма элементов от m до n: формула

Формула, приведенная в предыдущем пункте, дает ответ на вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии (первых элементов), но часто в задачах необходимо просуммировать ряд чисел, стоящих в середине прогрессии. Как это сделать?

Ответить на этот вопрос проще всего, рассматривая следующий пример: пусть необходимо найти сумму членов от m-го до n-го. Для решения задачи следует представить заданный отрезок от m до n прогрессии в виде нового числового ряда. В таком представлении m-й член a m будет первым, а a n станет под номер n-(m-1). В этом случае, применяя стандартную формулу для суммы, получится следующее выражение:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример использования формул

Зная, как найти сумму арифметической прогрессии, стоит рассмотреть простой пример использования приведенных формул.

Ниже дана числовая последовательность, следует найти сумму ее членов, начиная с 5-го и заканчивая 12-м:

Приведенные числа свидетельствуют, что разность d равна 3. Используя выражение для n-го элемента, можно найти значения 5-го и 12-го членов прогрессии. Получается:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Зная значения чисел, стоящих на концах рассматриваемой алгебраической прогрессии, а также зная, какие номера в ряду они занимают, можно воспользоваться формулой для суммы, полученной в предыдущем пункте. Получится:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Стоит отметить, что это значение можно было получить иначе: сначала найти сумму первых 12 элементов по стандартной формуле, затем вычислить сумму первых 4 элементов по той же формуле, после этого вычесть из первой суммы вторую.

Инструкция

Арифметическая прогрессия - это последовательность вида a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Число d шагом прогрессии .Очевидно, что общая произвольного n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: An = A1+(n-1)d. Тогда зная один из членов прогрессии , член прогрессии и шаг прогрессии , можно , то есть номер члена прогресси. Очевидно, он будет определяться по формуле n = (An-A1+d)/d.

Пусть теперь известен m-ый член прогрессии и -то другой член прогрессии - n-ый, но n , как и в предыдущем случае, но известно, что n и m не совпадают.Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле: d = (An-Am)/(n-m). Тогда n = (An-Am+md)/d.

Если известна сумма нескольких элементов арифметической прогрессии , а также ее первый и последний , то количество этих элементов тоже можно определить.Сумма арифметической прогрессии будет равна: S = ((A1+An)/2)n. Тогда n = 2S/(A1+An) - чденов прогрессии . Используя тот факт, что An = A1+(n-1)d, эту формулу можно переписать в виде: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Из этой можно выразить n, решая квадратное уравнение.

Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный набор чисел, каждый член которого, кроме первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта постоянная величина называется разностью прогрессии или ее шагом и может быть рассчитана по известным членам арифметической прогрессии.

Инструкция

Если из условий задачи известны значения первого и второго или любой другой пары соседних членов , для вычисления разности (d) просто отнимите от последующего члена предыдущий. Получившаяся величина может быть как положительным, так и отрицательным числом - это зависит от того, является ли прогрессия возрастающей . В общей форме решение для произвольно взятой пары (aᵢ и aᵢ₊₁) соседних членов прогрессии запишите так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a₁), а другой - любым другим произвольно выбранным, тоже можно составить формулу нахождения разности (d). Однако в этом случае обязательно должен быть известен порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный результат разделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В общем виде эту формулу запишите так: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Если кроме произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i известен другой ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих двух членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a₁) и сумма (Sᵢ) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для получения искомого значения разделите сумму на количество составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а результат удвойте. Получившуюся величину разделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В общем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Начальный уровень

Арифметическая прогрессия. Подробная теория с примерами (2019)

Числовая последовательность

Числовая последовательность
Например, для нашей последовательности:

В нашем случае:

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

a)
b)
c)
d)

1. Способ

Итак, -ой член описанной арифметической прогрессии равен.

2. Способ

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

Уравнение арифметической прогрессии.

Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.

Возрастающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:

Убывающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:

Так как, то:

Сравним полученные результаты:

Свойство арифметической прогрессии

Пусть, а, тогда:

предыдущий член прогрессии это:
последующий член прогрессии это:

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма членов равна, а сумма членов. Так ли ты решал?

Способ 1.

Способ 2.

Тренировка

Задачи:

Маша приходит в форму к лету. Ежедневно она увеличивает количество приседаний на. Сколько раз будет приседать Маша через недели, если на первой тренировке она сделала приседаний.
Какова сумма всех нечетных чисел, содержащихся в.
Лесорубы при хранении бревен укладывают их таким образом, что каждый верхний слой содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. Сколько бревен находится в одной кладке, если основанием кладки служат бревен.

Ответы:

Определим параметры арифметической прогрессии. В данном случае
(недели = дней).
Ответ: Через две недели Маша должна приседать раз в день.
Первое нечетное число, последнее число.
Разность арифметической прогрессии.
Количество нечетных чисел в - половина, однако, проверим этот факт, используя формулу нахождения -ного члена арифметической прогрессии:
В числах действительно содержится нечетных чисел.
Имеющиеся данные подставим в формулу:
Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в, равна.
Вспомним задачу про пирамиды. Для нашего случая, a , так как каждый верхний слой уменьшается на одно бревно, то всего в кучке слоев, то есть.
Подставим данные в формулу:
Ответ: В кладке находится бревен.

Подведем итоги

- числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна. Она бывает возрастающей и убывающей.
Формула нахождения -го члена арифметической прогрессии записывается формулой - , где - количество чисел в прогрессии.
Свойство членов арифметической прогрессии - - где - количество чисел в прогрессии.
Сумму членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:

, где - количество значений.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:

Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Число с номером называется -ым членом последовательности.

Очень удобно, если -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

задает последовательность:

А формула - такую последовательность:

Формула n-го члена

Ну что, ясно теперь какая формула?

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

Реши сам:

В арифметической прогрессии найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение:

Первый член равен. А чему равна разность? А вот чему:

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Итак, формула:

Тогда сотый член равен:

Чему равна сумма всех натуральных чисел от до?

Общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных.

Решение:

Формула -го члена для этой прогрессии:

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Очень легко: .

Последний член прогрессии будет равен. Тогда сумма:

Ответ: .

Теперь реши сам:

Ежедневно спортсмен пробегает на м больше, чем в предыдущий день. Сколько всего километров он пробежит за недели, если в первый день он пробежал км м?
Велосипедист проезжает каждый день на км больше, чем в предыдущий. В первый день он проехал км. Сколько дней ему надо ехать, чтобы преодолеть км? Сколько километров он проедет за последний день пути?
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через шесть лет был продан за рублей.

Ответы:

Здесь самое главное - распознать арифметическую прогрессию, и определить ее параметры. В данном случае, (недели = дней). Определить нужно сумму первых членов этой прогрессии:
.
Ответ:
Здесь дано: , надо найти.
Очевидно, нужно использовать ту же формулу суммы, что и в предыдущей задаче:
.
Подставляем значения:
Корень, очевидно, не подходит, значит, ответ.
Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы -го члена:
(км).
Ответ:
Дано: . Найти: .
Проще не бывает:
(руб).
Ответ:

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей () и убывающей ().

Например:

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

записывается формулой, где - количество чисел в прогрессии.

Свойство членов арифметической прогрессии

Сумма членов арифметической прогрессии

Существует два способа нахождения суммы:

Где - количество значений.

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

Свойства арифметической прогрессии

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии