Теорема пифагора примеры решения. Теорема Пифагора: квадрату гипотенузы равна сумма катетов, возведенных в квадрат

Инструкция

Если необходимо рассчитать по теореме Пифагора, воспользуйтесь следующим алгоритмом:- Определите в треугольнике, какие стороны являются катетами, а – гипотенузой. Две стороны, образующие угол в девяносто градусов и есть катеты, оставшаяся третья – гипотенуза. (см )- Возведите во вторую степень каждый катет данного треугольника, то есть умножьте на себя. Пример 1. Пусть надо вычислить гипотенузу, если один катет в треугольнике – 12 см, а другой – 5 см. Во-первых, квадраты катетов равны: 12*12=144 см и 5*5 = 25 см.- Далее определите сумму квадратов катетов. Определенное число является гипотенузы , нужно избавиться от второй степени числа, чтобы найти длину этой стороны треугольника. Для этого извлеките из-под квадратного корня значение суммы квадратов катетов. Пример 1. 144+25=169. Корень квадратный из 169 будет 13. Следовательно, длина данной гипотенузы равна 13 см.

Другой способ вычисления длины гипотенузы заключается в терминологии синуса и углов в треугольнике. По определению: синус угла альфа - противолежащего катета к гипотенузе. То есть, глядя на рисунок, sin a = CВ / АВ. Отсюда, гипотенуза АВ = СВ / sin a.Пример 2. Пусть угол 30 градусам, а противолежащий ему катет - 4 см. Нужно найти гипотенузу. Решение: АВ = 4 см/ sin 30 = 4 см / 0,5 = 8 см. Ответ: длина гипотенузы равна 8 см.

Аналогичный способ нахождения гипотенузы из определения косинуса угла. Косинус угла - отношение прилежащего к нему катета и гипотенузы . То есть, cos а = АС/АВ, отсюда АВ = АС/cos а. Пример 3. В треугольнике АВС, АВ - гипотенуза, угол ВАС равен 60 градусам, катет АС - 2 см. Найти АВ.
Решение: АВ = АС/cos 60 = 2/0,5 = 4 см. Ответ: гипотенуза составляет 4 см в длине.

Полезный совет

При нахождении значения синуса или косинуса угла воспользуйтесь либо таблицей синусов и косинусов, либо таблицей Брадиса.

Совет 2: Как найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называют самую длинную из сторон в прямоугольном треугольнике, поэтому не удивительно, что с греческого языка это слово переводится как «натянутая». Эта сторона всегда лежит напротив угла в 90°, а стороны, образующие этот угол называют катетами. Зная длины этих сторон и величины острых углов в разных комбинациях этих значений можно вычислить и длину гипотенузы.

Инструкция

Если известны длины обоих треугольника (А и В), то используйте длины гипотенузы (С) самый, пожалуй, известный на математический постулат - теорему Пифагора. Он гласит, что квадрат длины гипотенузы сумме квадратов длин катетов, из чего вытекает, что вам следует вычислить корень из суммы возведенных в квадрат длин двух сторон: С=√(А²+В²). Например, если длина одного катета 15 , а - 10 сантиметрам, то длина гипотенузы составит приблизительно 18,0277564 сантиметра, так как √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Если известна длина только одного из катетов (А) в прямоугольном треугольнике, а также величина угла, лежащего напротив него (α), то длину гипотенузы (С) можно с помощью одной из тригонометрических функций - синуса. Для этого разделите длину известной стороны на синус известного угла: С=А/sin(α). Например, если длина одного из катетов равна 15 сантиметрам, а величина угла в противоположной ему вершине треугольника составляет 30°, то длина гипотенузы будет равна 30 сантиметрам, так как 15/sin(30°)=15/0,5=30.

Если в прямоугольном треугольнике известна величина одного из острых углов (α) и длина прилегающего к нему катета (В), то для вычисления длины гипотенузы (С) можно использовать другую тригонометрическую функцию - косинус. Вам следует разделить длину известного катета на косинус известного угла: С=В/ cos(α). Например, если длина этого катета равна 15 сантиметрам, а величина острого угла, к нему прилегающего, составляет 30°, то длина гипотенузы составит приблизительно 17,3205081 сантиметров, так как 15/cos(30°)=15/(0,5*√3)=30/√3≈17,3205081.

Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.

Инструкция

Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит , если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.

§ 58. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 1 .

__________
1 Пифагор - греческий учёный, живший около 2500 лет назад (564-473 гг. до нашей эры).
_________

Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а , b и с (черт. 267).

Построим на его сторонах квадраты. Площади этих квадратов соответственно равны а 2 , b 2 и с 2 . Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 .

Построим два квадрата МКОР и М"К"О"Р" (черт. 268, 269), приняв за сторону каждого из них отрезок, равный сумме катетов прямоугольного треугольника АBС.

Выполнив в этих квадратах построения, показанные на чертежах 268 и 269, мы увидим, что квадрат МКОР разбился на два квадрата с площадями а 2 и b 2 и четыре равных прямоугольных треугольника, каждый из которых равен прямоугольному треугольнику АВС. Квадрат М"К"О"Р" разбился на четырёхугольник (он на чертеже 269 заштрихован) и четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых также равен треугольнику АBС. Заштрихованный четырёхугольник - квадрат, так как стороны его равны (каждая равна гипотенузе треугольника АBС, т. е. с ), а углы - прямые / 1 + / 2 = 90°, откуда / 3 = 90°).

Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на катетах (на чертеже 268 эти квадраты заштрихованы), равна площади квадрата МКОР без суммы площадей четырёх равных треугольников, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе (на чертеже 269 этот квадрат тоже заштрихован), равна площади квадрата М"К"О"Р", равного квадрату МКОР, без суммы площадей четырёх таких же треугольников. Следовательно, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Получаем формулу с 2 = а 2 + b 2 , где с - гипотенуза, а и b - катеты прямоугольного треугольника.

Теорему Пифагора кратко принято формулировать так:

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Из формулы с 2 = а 2 + b 2 можно получить такие формулы:

а 2 = с 2 - b 2 ;
b 2 = с 2 - а 2 .

Этими формулами можно пользоваться для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум данным его сторонам.
Например:

а) если даны катеты а = 4 см, b =3 см, то можно найти гипотенузу (с ):
с 2 = а 2 + b 2 , т. е. с 2 = 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откуда с = √25 =5 (см);

б) если даны гипотенуза с = 17 см и катет а = 8 см, то можно найти другой катет (b ):

b 2 = с 2 - а 2 , т. е. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, откуда b = √225 = 15 (см).

Следствие: Если в двух прямоугольных треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 гипотенузы с и с 1 равны, а катет b треугольника АBС больше катета b 1 треугольника А 1 В 1 C 1 ,
то катет а треугольника АВС меньше катета а 1 треугольника А 1 В 1 C 1 . (Сделать чертёж, иллюстрирующий это следствие.)

В самом деле, на основании теоремы Пифагора получим:

а 2 = с 2 - b 2 ,
а 1 2 = с 1 2 - b 1 2

В записанных формулах уменьшаемые равны, а вычитаемое в первой формуле больше вычитаемого во второй формуле, следовательно, первая разность меньше второй,
т. е. а 2 < а 1 2 . Откуда а < а 1 .

Упражнения.

1. Пользуясь чертежом 270, доказать теорему Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника.

2. Один катет прямоугольного треугольника равен 12 см, другой - 5 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, один из катетов равен 8 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 37 см, один из его катетов равен 35 см. Вычислить длину другого катета этого треугольника.

5. Построить квадрат, по площади вдвое больший данного.

6. Построить квадрат, по площади вдвое меньший данного. Указание. Провести в данном квадрате диагонали. Квадраты, построенные на половинах этих диагоналей, будут искомыми.

7. Катеты прямоугольного треугольника соответственно равны 12 см и 15 см. Вычислить длину гипотенузы этого треугольника с точностью до 0,1 см.

8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, один из его катетов равен 15 см. Вычислить длину другого катета с точностью до 0,1 см.

9. Какой длины должна быть лестница, чтобы её можно было приставить к окну, находящемуся на высоте 6 м, если нижний конец лестницы должен отстоять от здания на 2,5 м? (Черт. 271.)

Тем, кто интересуется историей теоремы Пифагора, которую изучают в школьной программе, будет также любопытен такой факт, как публикация в 1940 году книги с трехсот семьюдесятью доказательствами этой, казалось бы, простой теоремы. Но она интриговала умы многих математиков и философов разных эпох. В книге рекордов Гиннеса она зафиксирована, как теорема с самым максимальным числом доказательств.

История теоремы Пифагора

Связанная с именем Пифагора, теорема была известна задолго до рождения великого философа. Так, в Египте, при строительстве сооружений, учитывалось соотношение сторон прямоугольного треугольника пять тысячелетий назад. В вавилонских текстах упоминается о все том же соотношении сторон прямоугольного треугольника за 1200 лет до рождения Пифагора.

Возникает вопрос, почему тогда гласит история - возникновение теоремы Пифагора принадлежит ему? Ответ может быть только один - он доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем.

Из жизни Пифагора

Будущий великий ученый, математик, философ родился на острове Самосе в 570 году до нашей эры. Исторические документы сохранили сведения об отце Пифагора, который был резчиком по драгоценным камням, а вот о матери сведений нет. О родившемся мальчике говорили, что это незаурядный ребенок, проявивший с детского возраста страсть к музыке и поэзии. К учителям юного Пифагора историки относят Гермодаманта и Ферекида Сиросского. Первый ввел мальчика в мир муз, а второй, будучи философом и основателем итальянской школы философии, направил взор юноши к логосу.

В 22 года от роду (548 г. до н. э.) Пифагор отправился в Навкратис для изучения языка и религии египтян. Далее его путь лежал в Мемфис, где благодаря жрецам, пройдя через их хитроумные испытания, он постиг египетскую геометрию, которая, возможно натолкнула пытливого юношу на доказательство теоремы Пифагора. История в дальнейшем припишет теореме именно это имя.

В плену царя Вавилона

По пути домой в Элладу, Пифагор попадает в плен царя Вавилона. Но нахождение в плену принесло пользу пытливому уму начинающего математика, ему было чему поучиться. Ведь в те годы математика в Вавилоне была более развитой чем в Египте. Двенадцать лет он провел за изучением математики, геометрии и магии. И, возможно, именно вавилонская геометрия причастна к доказательству соотношения сторон треугольника и истории открытия теоремы. У Пифагора было для этого достаточно полученных знаний и времени. Но, что это произошло в Вавилоне, документального подтверждения или опровержения тому нет.

В 530 г. до н.э. Пифагор бежит из плена на родину, где живет при дворе тирана Поликрата в статусе полураба. Такая жизнь Пифагора не устраивает, и он удаляется в пещеры Самоса, а затем отправляется на юг Италии, где в то время располагалась греческая колония Кротон.

Тайный монашеский орден

На базе этой колонии Пифагор организовал тайный монашеский орден, представлявший собой религиозный союз и научное общество одновременно. Это общество имело свой устав, в котором говорилось о соблюдении особого образа жизни.

Пифагор утверждал, чтобы понять Бога, человек должен познать такие науки как алгебра и геометрия, знать астрономию и понимать музыку. Исследовательская работа сводилась к познанию мистической стороны чисел и философии. Следует отметить, что проповедованные в то время Пифагором принципы, имеют смысл в подражании и в настоящее время.

Многие из открытий, которые делали ученики Пифагора, приписывались ему. Тем не менее, если говорить кратко, история создания теоремы Пифагора древними историками и биографами того времени, связывается непосредственно с именем этого философа, мыслителя и математика.

Учение Пифагора

Возможно, на мысль о связи теоремы с именем Пифагора натолкнуло историков высказывание великого грека, что в пресловутом треугольнике с его катетами и гипотенузой зашифрованы все явления нашей жизни. А этот треугольник является "ключом" к решению всех возникающих проблем. Великий философ говорил, что следует узреть треугольник, тогда можно считать, что задача на две трети решена.

О своем учении Пифагор рассказывал только своим ученикам устно, не делая никаких записей, держа его в тайне. К великому сожалению, учение величайшего философа не сохранилось до наших дней. Что-то из него просочилось, но нельзя сказать сколько истинного, а сколько ложного в том, что стало известно. Даже с историей теоремы Пифагора не все бесспорно. Историки математики сомневаются в авторстве Пифагора, по их мнению теоремой пользовались за много веков до его рождения.

Теорема Пифагора

Может показаться странным, но исторических фактов доказательства теоремы самим Пифагором нет — ни в архивах, ни в каких-либо других источниках. В современной версии считается, что оно принадлежит не кому иному, как самому Евклиду.

Есть доказательства одного из крупнейших историков математики Морица Кантора, обнаружившего на папирусе, хранящемся в Берлинском музее, записанное египтянами примерно в 2300 году до н. э. равенство, которое гласило: 3² + 4² = 5².

Кратко из истории теоремы Пифагора

Формулировка теоремы из евклидовых "Начал", в переводе звучит также как и в современной интерпретации. Нового в ее прочтении нет: квадрат стороны противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов сторон, прилегающих к прямому углу. О том, что теоремой пользовались древние цивилизации Индии и Китая подтверждает трактат "Чжоу — би суань цзинь". Он содержит сведения об египетском треугольнике, в котором описано соотношение сторон как 3:4:5.

Не менее интересна еще одна китайская математическая книга «Чу-пей», в которой также упоминается о пифагоровом треугольнике с пояснением и рисунками, совпадающими с чертежами индусской геометрии Басхары. О самом треугольнике в книге написано, что если прямой угол можно разложить на составные части, тогда линия, которая соединяет концы сторон, будет равна пяти, если основание равно трем, а высота равна четырем.

Индийский трактат "Сульва сутра", относящийся примерно к VII-V векам до н. э., рассказывает о построении прямого угла при помощи египетского треугольника.

Доказательство теоремы

В средние века ученики считали доказательство теоремы слишком трудным делом. Слабые ученики заучивали теоремы наизусть, без понимания смысла доказательства. В связи с этим они получили прозвище "ослы", потому что теорема Пифагора была для них непреодолимым препятствием, как для осла мост. В средние века ученики придумали шутливый стих на предмет этой теоремы.

Чтобы доказать теорему Пифагора самым легким путем, следует просто измерить его стороны, не используя в доказательстве понятие о площадях. Длина стороны, противолежащая прямому углу - это c, а прилежащие к нему a и b, в результате получаем уравнение: a 2 + b 2 = c 2 . Данное утверждение, как говорилось выше, проверяется путем измерения длин сторон прямоугольного треугольника.

Если начать доказательство теоремы с рассмотрения площади прямоугольников, построенных на сторонах треугольника, можно определить площадь всей фигуры. Она будет равна площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , что и требовалось доказать.

Практическое значение теоремы Пифагора заключается в том, что с ее помощью можно найти длины отрезков, не измеряя их. При строительстве сооружений рассчитываются расстояния, размещение опор и балок, определяются центры тяжести. Применяется теорема Пифагора и во всех современных технологиях. Не забыли о теореме и при создании кино в 3D-6D-измерениях, где кроме привычных нам 3-х величин: высоты, длины, ширины - учитываются время, запах и вкус. Как связаны с теоремой вкусы и запахи - спросите вы? Все очень просто - при показе фильма нужно рассчитать, куда и какие запахи и вкусы направлять в зрительном зале.

То ли еще будет. Безграничный простор для открытия и создания новых технологий ждет пытливые умы.

Потенциал к творчеству обычно приписывают гуманитарным дисциплинам, естественно научным оставляя анализ, практический подход и сухой язык формул и цифр. Математику к гуманитарным предметам никак не отнесешь. Но без творчеств в «царице всех наук» далеко не уедешь – об этом людям известно с давних пор. Со времен Пифагора, например.

Школьные учебники, к сожалению, обычно не объясняют, что в математике важно не только зубрить теоремы, аксиомы и формулы. Важно понимать и чувствовать ее фундаментальные принципы. И при этом попробовать освободить свой ум от штампов и азбучных истин – только в таких условиях рождаются все великие открытия.

К таким открытиям можно отнести и то, которое сегодня мы знаем как теорему Пифагора. С его помощью мы попробуем показать, что математика не только может, но и должна быть увлекательной. И что это приключение подходит не только ботаникам в толстых очках, а всем, кто крепок умом и силен духом.

Из истории вопроса

Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.

Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».

Как видите, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 367 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

Доказательства теоремы Пифагора

В школьных учебниках в основном приводят алгебраические доказательства. Но суть теоремы в геометрии, так что давайте рассмотрим в первую очередь те доказателства знаменитой теоремы, которые опираются на эту науку.

Доказательство 1

Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.

Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом:

Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны» :

Доказательство 2

Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.

Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b) . В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3.

В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b .

Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c .

Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b) .

Записав все это, имеем: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab . Раскройте скобки, проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите, что a 2 +b 2 = a 2 +b 2 . При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле S=c 2 . Т.е. a 2 +b 2 =c 2 – вы доказали теорему Пифагора.

Доказательство 3

Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

Но мы разберем это доказательство более подробно:

Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с . Катеты треугольника назовем а и b . В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b) .

Используйте формулу площади квадрата S=c 2 , чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b .

Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b . В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c 2 =a 2 +b 2 . Теорема доказана.

Доказательство 4

Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше.

Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a .

Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c 2 =a 2 +b 2 .

Доказательство 5

Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда».

Постройте прямоугольный треугольник АВС . Нам надо доказать, что ВС 2 =АС 2 +АВ 2 .

Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD , который равен катету АВ . Опустите перпендикулярный AD отрезок ED . Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В , а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже:

Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ , является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Не забываем также, что АВ=CD , АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2 .

При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: S ABED =(DE+AB)*1/2AD . Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD .

Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD) . Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2 . А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2 . Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС 2 =АС 2 +АВ 2 . Мы доказали теорему.

Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

Пару слов о Пифагоровых тройках

Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.

Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.

Пифагоровы тройки могут быть:

• примитивными (все три числа – взаимно простые);
• не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

Практическое применение теоремы

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:

Обозначим ширину окна как b , тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2 . Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4 . В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p ).

Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р . Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p . Один катет представляет собой радиус b/4 , другой b/2-p . Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2 . Далее раскроем скобки и получим b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2 . Преобразуем это выражение в bp/2=b 2 /4-bp . А затем разделим все члены на b , приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4 . И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.

Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.

С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.

Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме.

(перевод Виктора Топорова)

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Заключение

Эта статья создана, чтобы вы могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках «Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян, В.Н. Руденко) и «Геометрия 7-11» (А.В. Погорелов), но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

Во-первых, эта информация позволит вам претендовать на более высокие баллы на уроках математики – сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.

Во-вторых, нам хотелось помочь вам прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Мы надеемся, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.

Расскажите нам в комментариях, показались ли вам приведенные в статье доказательства интересными. Пригодились ли вам эти сведения в учебе. Напишите нам, что думаете о теореме Пифагора и этой статье – нам будет приятно обсудить все это с вами.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:

Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.

Решение задач с использованием теоремы Пифагора

Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.

Итак, дано:

1. Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
2. Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.

Приступим к решению:

a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b = 64 или b = -64

Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.

Ответ к первому рисунку: b = 64.

b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b = 35 или b = -35

Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.

Ответ ко второму рисунку: b = 35

Нам дано:

1. Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
2. Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.

Решаем задачу:

a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.

b) Выполняется та же самая операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.

Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:

Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):

Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):

Поскольку имеет место равенство:

то соответствующий треугольник является прямоугольным.

Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.

Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:

Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.

Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.

Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:

Итак, ширина пруда составляет 10 метров.

Сергей Валерьевич