Как найти расстояние по графику. Равноускоренное движение: формулы, примеры

ГРАФИКИ

Определение вида движения по графику

1. Равноускоренному движению соответствует график зависимости модуля ускорения от времени, обозначенный на рисунке буквой

2. На рисунках изображены графики зависимости моду­ля ускорения от времени для разных видов движения. Какой график соответствует равномерному движению?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

3.
Тело, двигаясь вдоль оси Ох прямолинейно и равноу­скоренно, за некоторое время уменьшило свою скорость в 2 раза. Какой из графиков зависимости проекции ускорения от времени соответствует такому движению?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

4. Парашютист движется вертикально вниз с постоянной по зна­чению скоростью. Какой график - 1, 2, 3 или 4 - правильно отражает зависимость его координаты Y от времени движения t относительно поверхности земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

5. Какой из графиков зависимости проекции скорости от времени (рис.) соответствует движению тела, брошенного вертикально вверх с некоторой скоро­стью (ось Y направлена вертикально вверх)?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

6.
Тело бросили вертикально вверх с некоторой началь­ной скоростью с поверхности земли. Какой из графиков зависимости высоты тела над поверхностью земли от времени (рис.) соответствует этому движению?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Определение и сравнение характеристик движения по графику

7. На графике приведена зависимость проекции скорости тела от времени при прямолинейном движении. Определите проекцию ускорения тела.

1) – 10 м/с 2

2) – 8 м/с 2

3) 8 м/с 2

8.
На рисунке изображен график зависимости скорости движения тел от времени. Чему равно ускорение тела?

2) 2 м/с 2

9. По графику зависимости проекции скорости от времени, представленному па рисунке, определите ускорение прямоли­нейно движущегося тела в момент времени t = 2 с.

3) 10 м/с 2

10. На рисунке представлен график движения автобуса из пункта А в пункт Б и обратно. Пункт А находится в точке х = 0, а пункт Б в точке х = 30 км. Чему равна скорость автобуса на пути из А в Б?

11. На рисунке представлен график движения автобуса из пункта А в пункт Б и обратно. Пункт А находится в точке х = 0, а пункт Б в точке х = 30 км. Чему равна скорость автобуса на пути из Б в А?

12. Автомобиль движется по прямой улице. На графике представлена зависимость скорости автомобиля от времени. Модуль ускорения максимален в интервале времени

1) от 0 с до 10 с

2) от 10 с до 20 с

3) от 20 с до 30 с

4) от 30 с до 40 с

13. Четыре тела движутся вдоль оси Оx .На рисунке изображены графики зависимости проекций скоростей υ x от времени t для этих тел. Какое из тел движется с наименьшим по модулю ускорением?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

14. На рисунке представ­лен график зависимости пути S велосипедиста от времени t. Определите интервал времени, когда велосипедист двигался со скоростью 2,5 м/с.

1) от 5 с до 7 с

От 3 с до 5 с

3) от 1 с до 3 с

4) от 0 до 1 с

15. На рисунке представлен график зависимости координаты тела, движущегося вдоль оси Oх , от времени. Сравните скорости v 1 , v 2 и v 3 тела в моменты времени t 1 , t 2 , t 3

1) v 1 > v 2 = v 3

2) v 1 > v 2 > v 3

3) v 1 < v 2 < v 3

4) v 1 = v 2 > v 3

16. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени.

Проекция ускорения тела в интервале времени от 5 до 10 с представлена графиком

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

17. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением, зависимость от времени которого приведена на рисунке. Начальная скорость точки равна 0. Какая точка на графике соответствует максимальной скорости материальной точки:

Составление кинематических зависимостей (функций зависимости кинематических величин от времени) по графику

18. На рис. изображен график зависимости координаты тела от времени. Определите кинематический закон движения этого тела

1) x(t) = 2 + 2t

2) x(t) = – 2 – 2t

3) x(t) = 2 – 2t

4) x(t) = – 2 + 2t

19. По графику зависимости скорости тела от времени определите функцию зависимости скорости этого тела от времени

1) v x = – 30 + 10t

2) v x = 30 + 10t

3) v x = 30 – 10t

4) v x = – 30 + 10t

Определение перемещения и пути по графику

20. По графику зависимости скорости тела от времени определите путь, пройденный прямолинейно движущимся телом за 3 с.

21. Камень брошен вертикально вверх. Проекция его скорости на вертикальное направление изменяется со временем согласно графику на рисунке. Чему равен путь, пройденный камне за первые 3 с?

22. Камень брошен вертикально вверх. Проекция его скорости на вертикальное направление изменяется со временем согласно графику на рисунке к з.17. Чему равен путь, пройденный камнем за все время полета?

23. Камень брошен вертикально вверх. Проекция его скорости на вертикальное направление изменяется со временем согласно графику на рисунке к з.17. Чему равно перемещение камня за первые 3 с?

24. Камень брошен вертикально вверх. Проекция его скорости на вертикальное направление изменяется со временем согласно графику на рисунке к з.17. Чему равно перемещение камня за все время полета?

25. На рисунке дан график зависимости проекции скорости тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени. Чему равен путь, пройденный телом к моменту времени t = 10 с?

26. Тележка начинает движение из состояния покоя вдоль бу­мажной ленты. На тележке стоит капельница, которая че­рез равные промежутки времени оставляет на ленте пятна краски.

Выберите график зависимости величины скорости от вре­мени, который правильно описывает движение тележки.

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

УРАВНЕНИЯ

27. Движение троллейбуса при аварийном торможении задано уравнением: x = 30 + 15t – 2,5 t 2 , м Чему равна начальная координата троллейбуса?

28. Движение самолета при разбеге задано уравнением: x = 100 + 0,85t 2 , м Чему равно ускорение самолета?

3) 1,7 м/с 2

29. Движение легкового автомобиля задано уравнением: x = 150 + 30t + 0,7t 2 , м. Чему равна начальная скорость автомобиля?

30. Уравнение зависимости проекции скорости движу­щегося тела от времени: v x = 2 +3t (м/с). Каково соответствующее уравнение проекции перемещения тела?

1) S x = 2t + 3t 2 2) S x = 4t + 3t 2 3) S x = t + 6t 2 4)S x = 2t + 1,5t 2

31. Зависимость координаты от времени для некоторого тела описывается уравнением х = 8t – t 2 . В какой момент времени скорость тела равна нулю?

ТАБЛИЦЫ

32. В таблице приведены результаты измерений пути при свободном падении стального шарика в разные моменты времени. Каково, ско­рее всего, было значение пути, пройденное шариком при падении, к моменту времени t = 2 с?

1) 7,5 м 2) 10 м 3) 20 м 4) 40 м

34. В таблице представлена зависимость координаты х движения тела от времени t :

С какой скоростью двигалось тело от момента времени 0 с до мо­мента времени 3 с?

4) 3 м/с

36. В таблице представлена зависимость координаты х движения тела от времени t :

С какой скоростью двигалось тело от момента времени 3 с до до момента времени 5 с?

38. В таблице представлена зависимость скорости движения тела v от времени t :

3) 17 м

40. В таблице представлена зависимость скорости движения тела v от времени t :

Определите путь, пройденный телом в интервале от момен­та времени 0 с до момента времени 2 с.

42. В таблице представлена зависимость скорости движения тела v от времени t :

Определите путь, пройденный телом в интервале от момен­та времени 0 с до момента времени 5 с.

4) 25 м

43. Четыре тела двигались по оси Ох. В таблице представлена зависимость их координат от времени.

У какого из тел скорость могла быть постоянна и отлична от нуля?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

44. Четыре тела двигались по оси Ох. В таблице представлена зависимость их координат от времени.

У какого из тел ускорение могло быть постоянно и отлично от нуля?

Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.

Неравномерное движение – это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

V cp = s / t

– это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

V x = x’

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

– это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

V x = v 0x ± a x t

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

0a = v 0 bc = v

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t 1 равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а x < 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Для большей наглядности движение можно описывать с помощью графиков. График показывает, как изменяется одна величина при изменении другой величины, от которой первая зависит.

Для построения графика обе величины в выбранном масштабе откладывают по осям координат. Если по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывать время, прошедшее с начала отсчета времени, а по вертикальной оси (оси ординат) - значения координат тела, полученный график будет выражать зависимость координаты тела от времени (его также называют графиком движения).

Допустим, что тело движется равномерно вдоль оси X (рис. 29). В моменты времени и т. д. тело находится соответственно в положениях, измеряемых координатами (точка А), .

Это значит, что изменяется только его координата Для того чтобы получить график движения тела, будем откладывать значения по вертикальной оси, а по горизонтальной оси - значения времени График движения представляет собой прямую линию, показанную на рисунке 30. Это и значит, что координата линейно зависит от времени.

График зависимости координаты тела от времени (рис. 30) не следует путать с траекторией движения тела - прямой, во всех точках которой тело побывало при своем движении (см. рис. 29).

Графики движения дают полное решение задачи механики в случае прямолинейного движения тела, так как они позволяют найти положение тела в любой момент времени, в том числе и в моменты времени, предшествовавшие начальному моменту (если предположить, что тело двигалось и до начала отсчета времени). Продолжив график, изображенный на рисунке 29, в сторону, противоположную положительному направлению оси времени, мы, например, найдем, что тело за 3 сек до того, как оно оказалось в точке А, находилось в начале отсчета координаты

По виду графиков зависимости координаты от времени можно судить и о скорости движения. Ясно, что скорость тем больше, чем круче график, т. е. чем больше угол между ним и осью времени (чем больше этот угол, тем больше изменение координаты за одно и то же время).

На рисунке 31 показано несколько графиков движений с различными скоростями. Графики 1, 2 и 3 показывают, что тела движутся вдоль оси X в положительном направлении. Тело, график движения которого - прямая 4, движется в направлении, потивоположном направлению оси X. Из графиков движения можно найти и перемещения движущегося тела за любой промежуток времени.

Из рисунка 31 видно, например, что тело 3 за время между 1 и 5 сек совершило перемещение в положительном направлении, по абсолютной величине равное 2 м, а тело 4 за это же время совершило перемещение в отрицательном направлении, равное по абсолютной величине 4 м.

Наряду с графиками движения часто пользуются графиками скорости. Их получают, откладывая по оси координат проекцию скорости

тела, а по оси абсцисс по-прежнему время. Такие графики показывают, как изменяется скорость с течением времени, т. е. как скорость зависит от времени. В случае прямолинейного равномерного движения эта «зависимость» состоит в том, что скорость с течением времени не меняется. Поэтому график скорости представляет собой прямую, параллельную оси времени (рис. 32). График на этом рисунке относится к случаю, когда тело движется в сторону положительного направления оси X. График II относится к случаю, когда тело движется в противоположном направлении (так как проекция скорости отрицательна).

По графику скорости тоже можно узнать абсолютное значение перемещения тела за данный промежуток времени. Оно численно равно площади заштрихованного прямоугольника (рис. 33): верхнего, если тело движется в сторону положительного направления, и нижнего - в противоположном случае. Действительно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Но одна из сторон численно равна времени а другая, - скорости . А их произведение как раз и равно абсолютному значению перемещения тела.

Упражнение 6

1. Какому движению соответствует график, изображенный пунктиром на рисунке 31?

2. Пользуясь графиками (см. рис. 31), найдите расстояние между телами 2 и 4 в момент времени сек.

3. По графику, изображенному на рисунке 30, определите модуль и направление скорости.

Считаем шоссе прямолинейным. Запишем уравнение движения велосипедиста. Так как велосипедист двигался равномерно, то его уравнение движения:

(начало координат помещаем в точку старта, поэтому начальная координата велосипедиста равна нулю).

Мотоциклист двигался равноускоренно. Он также начал движение с места старта, поэтому его начальная координата равна нулю, начальная скорость мотоциклиста также равна нулю (мотоциклист начал двигаться из состояния покоя).

Учитывая, что мотоциклист начал движение на позже, уравнение движения мотоциклиста:

При этом скорость мотоциклиста изменялась по закону:

В момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста их координаты равны, т.е. или:

Решая это уравнение относительно , находим время встречи:

Это квадратное уравнение. Определяем дискриминант:

Определяем корни:

Подставим в формулы числовые значения и вычислим:

Второй корень отбрасываем как несоответствующий физическим условиям задачи: мотоциклист не мог догнать велосипедиста через 0,37 с после начала движения велосипедиста, так как сам покинул точку старта только через 2 с после того, как стартовал велосипедист.

Таким образом, время, когда мотоциклист догнал велосипедиста:

Подставим это значение времени в формулу закона изменения скорости мотоциклиста и найдем значение его скорости в этот момент:

2) Графический способ.

На одной координатной плоскости строим графики изменения со временем координат велосипедиста и мотоциклиста (график для координаты велосипедиста — красным цветом, для мотоциклиста — зеленым). Видно, что зависимость координаты от времени для велосипедиста — линейная функция, и график этой функции — прямая (случай равномерного прямолинейного движения). Мотоциклист двигался равноускоренно, поэтому зависимость координаты мотоциклиста от времени — квадратичная функция, графиком которой является парабола.